O Lema de Darboux : Demonstrações e aplicações

O artigo "Mmoire sur les quations diffrentielles algbriques du premier ordre et du premier degr" do matemtico Jean Gaston Darboux, introduziu em 1878 uma nova maneira de se estudar os campos vetoriais polinomiais. Entre os vrios resultados importantes neste artigo, temos o Lema de Darboux. Apresentamos neste texto duas demonstraes. A primeira segue as ideias de Darboux e feita de uma maneira elementar, usando as propriedades do ndice de interseo entre curvas algbricas planas. A segunda um pouco mais sofisticada, pois utiliza sequncias exatas e resultados sobre as dimenses dos espaos vetoriais que aparecem nestas sequncias. Tambm ilustramos a utilidade do Lema de Darboux apresentando algumas aplicaes. Mostramos, por exemplo, que uma soluo algbrica no-linear e sem pontos mltiplos de um campo vetorial polinomial tem grau menor ou igual ao grau do campo mais um. Numa outra aplicao, provamos que um campo quadrtico polinomial afim real no tem cbicas como ciclos limites algbricos. Por fim, determinamos o nmero de singularidades, com as suas respectivas multiplicidades, de um campo vetorial homogneo com uma quantidade finita de pontos singulares.