Praktische Mathematik fur Ingenieure und Physiker

426 man fordert also Anfangs- und Endordinate der Losung y (x) im Inter- vall (a, b), Abb. 112. An Stelle der Randordinaten (sogenannte erste Randwertaufgabe) lassen sich auch die Randsteigungen y' (a), y' (b) . Y fordern (zweite Randwertaufgabe) oder schlie- lich eine Linearkombination zwischen Ordinaten und Steigungen (dritte Randwertaufgabe). Alle jl diese Aufgaben oder auch ihre Kombinationen treten in den Anwendungen auf. . :c Ahnlich wie bei der Anfangswertaufgabe wird Abb. 112 Zur Randwertaufgabe man bei formelmaiger Losung versuchen, die in der allgemeinen Losung enthaltenen freien Integratlonskonstanten aus den beiden Randbedingungen zu bestimmen und so die fragliche Sonderlosung y(x) festzulegen. Prinzipiell scheint sich gegenuber der Anfangswertaufgabe damit kaum etwas geandert zu haben. Bei der Durchfuhrung derartiger Aufgaben aber zeigt sich sehr bald, da sie im Gegensatz zur Anfangswertaufgabe nicht mehr in jedem Falle losbar sind. Es treten hier also neue charakteristische Schwierigkeiten auf, zu deren Uberwindung besondere Uberlegungen notwendig werden. Aber auch die Behandlungsmethoden, insbesondere die uns vornehmlich interessierenden Naherungsverfahren, sind von denen der Anfangswertaufgaben grundverschieden, so da wir es hier in der Tat mit einem neuen und im ubrigen hochst reizvollen Gebiet der praktischen Mathematik zu tun haben, bei dem auch theoretische Fragen mehr als bisher in den Vordergrund treten werden. Die charakteristische Schwierigkeit des Randwertproblems sei an folgendem einfachen Beispiel erlautert. 1. Beispiel: Gegeben sei die - lineare - Differentialgleichung y"e; + y = 0 mit den Randbedingungen y(O) = 1, y(2) = O.