Der Quotienten-Differenzen-Algorithmus

Im Anschluss an eine praktische Anwendung des BO-Algorithmus (Biortho- gonalisierungs-Algorithmus von C. LANCZOS [4], [5]1) machte mich Herr Prof. E. STIEFEL, ETH, auf das Problem aufmerksam, die hoeheren Eigenwerte direkt aus den sogenannten Schwarzsehen Konstanten zu bestimmen, das heisst ohne den Umweg uber die Orthogonalisierung. Auf diese Anregung hin entwickelte der Verfasser einen Algorithmus, der die gestellte Aufgabe loest. Allerdings gab bereits A. C. AITKEN [1] eine Methode an, welche haupt- sachlich zur Aufloesung algebraischer Gleichungen gedacht war, aber auch die Bestimmung hoeherer Eigenwerte aus Schwarzsehen Konstanten gestattet. 2 Ferner stammt von C. LANCZOS ein Algorithmus ) zur Bestimmung des charak- teristischen Polynoms einer Matrix aus Schwarzsehen Konstanten. UEberdies entwickelte J. HADAMARD in seiner Dissertation [2] eine Methode zur Bestim- mung der Pole einer durch ihre Potenzreihe gegebenen Funktion. Er hat damit, wie 1 zeigen wird, auch das eingangs erwahnte Eigenwertproblem geloest. Wenn hier das schon geloeste Problem nochmals aufgegriffen wird, so geschieht dies deshalb, weil der entwickelte Algorithmus eine Reihe von weiteren An- wendungen gestattet und insbesondere auch wertvolle Beziehungen zur Ketten- bruchtheorie vermittelt3). Die Arbeit gliedert sich in drei Kapitel, von denen sich die Kapitel I und n mit Theorie und Anwendungen befassen, wahrend III eine Ausdehnung des QD-Algorithmus auf Vektoren behandelt. Schliesslich folgt ein Anhang uber verwandte Methoden (insbesondere die LR-Transformation). Die Kapitel I, n, In sind einzeln bereits in der ZAMP erschienen'), doch ist zu beachten, dass I und n zum Teil erhebliche Veranderungen erfahren haben.