Über die exakte Abbildung ausgewählter dreidimensionaler Kontakte auf Systeme mit niedrigerer räumlicher Dimension

Im Jahre 2007 wurde der Grundstein einer neuen Kontakt- und Reibungstheorie gelegt, die sogenannte Dimensionsreduktionsmethode. V.L. Popov und T. Geike gelang es, den dreidimensionalen Hertzschen Kontakt exakt durch ein eindimensionales Modell abzubilden. Darauf aufbauend entwickelten sie ein für typische tribologische Systeme hervorragend geeignetes 1D-Modell zur Simulation des 3D-Kontaktes rauer Oberflächen, verbunden mit einer enormen Einsparung an Rechenzeit. In Anlehnung an die Grundidee der Reduktionsmethode beschäftigt sich die vorliegende Arbeit hauptsächlich mit der exakten Abbildung dreidimensionaler Kontaktprobleme auf Systeme mit niedrigerer räumlicher Dimension. Ausgehend von der klassischen Elastizitätstheorie erfolgt zunächst der analytische Nachweis dafür, dass sich jeder konforme, reibungsfreie, axialsymmetrische Normalkontakt auf ein eindimensionales Modell abbilden lässt, welches die Zusammenhänge zwischen Normalkraft, Eindrücktiefe und Kontaktradius im Original exakt wiedergibt. Zudem werden unterschiedliche Möglichkeiten aufgezeigt, mit deren Hilfe die realen Kontaktspannungen aus der Dynamik des Ersatzsystems exakt filterbar sind. Die Verallgemeinerung der Adhäsionstheorie von Johnson, Kendall und Roberts auf beliebig geformte axialsymmetrische Kontakte geht auf das Jahr 2005 zurück. Dass sich diese Theorie auf sehr einfache Weise ebenfalls durch ein eindimensionales Modell exakt abbilden lässt, wird in der Dissertation unter Beweis gestellt. Des Weiteren wird aus gewissen Forminvarianzen heraus ein Korrespondenzprinzip hergeleitet, das für den Normal- und axialsymmetrischen Tangentialkontakt gültig ist. Es erlaubt die exakte Umrechnung zwischen den Feldgrößen ebener und axialsymmetrischer Systeme. Die Spannungen und Verschiebungen im Inneren des axialsymmetrisch beanspruchten Halbraums sind damit exakt aus einem ebenen Verzerrungs- bzw. Spannungszustand reproduzierbar. Das Korrespondenzprinzip ist gleichermaßen auf geschichtete oder aber inhomogene Halbräume anwendbar. Eine Schnittstelle dieser 2D-Reduktion zum 1D-Modell wird präsentiert und die Exaktheit des Reduktionsalgorithmus anhand von ausgewählten, numerischen Simulationen untermauert. Das Prinzip ist an keinerlei numerisches Dis-kretisierungsverfahren gebunden und kann problemlos in jedwede kommerzielle Software implementiert werden. Zur Simulation von dreidimensionalen tribologischen Systemen kommen in der Praxis häufig zweidimensionale Modelle zum Einsatz. Jene nehmen allesamt einen Fehler in Kauf, da die Natur ebener und räumlicher elastischer Festkörper grundsätzlich verschieden ist. Betrachtet man hingegen elastisch-inhomogene, zweidimensionale Medien, insbesondere die Gibson-Halbscheibe, können diverse Charakteristika des homogenen dreidimensionalen Kontinuums exakt nachgebildet werden. Solche sind ebenfalls Gegenstand der Arbeit; besondere Aufmerksamkeit wird dem Tangentialkontakt einer Kugel im Zustand des partiellen Gleitens gewidmet. Daneben enthält die Dissertation ein systematisch aufgebautes Kapitel über die Isotropie elastischer Gitter. Mit Blick auf die Abbildung des isotropen, ebenen Kontinuums werden die existierenden Modelle unter kinematisch-dynamischen und energetischen Aspekten gegenübergestellt. Aus kontaktmechanischer Sicht erscheint eine auf numerische Simulationen beruhende Fehleranalyse schwierig, weil das Einhalten sämtlicher Randbedingungen im ebenen Fall ein eigenständiges Problem darstellt. Abweichend vom Grundsatz der Arbeit, Kontaktprobleme exakt abbilden zu wollen, wird zuletzt der Kontakt selbstaffin fraktaler Oberflächen numerisch mit Hilfe eines dreidimensionalen hierarchischen Gittermodells untersucht. Die zum Teil sehr starken Annahmen führen zu einer erheblichen Reduzierung von Freiheitsgraden und damit Einsparung von Rechenzeit.