Fonctions Critiques Et EDP Elliptiques Sur Les Vari t s Riemanniennes : Fonctions critiques et phénomènes de concentration autour du problème de Yamabe

Cet ouvrage traite de la resolution d'EDP elliptiques non lineaires, issues du probleme de Yamabe, sur les varietes Riemanniennes compactes. Ces equations sont liees a l'etude de la courbure scalaire dans les changements de metrique conformes. Pour resoudre ces equations, on utilise generalement des methodes variationnelles, associees aux inclusions de Sobolev, et l'on cherche des solutions d'energie minimale. Ces problemes ont ete etudies entre autres par T. Aubin, M. Vaugon, E. Hebey, O. Druet. Dans le travail ici presente, on s'interesse aux cas limites normalement non resolus par ces methodes, en utilisant la notion de fonction critique introduite par E. Hebey et M. Vaugon. En utilisant des resultats recents sur les phenomenes de concentration, et en en demontrant de nouveaux, plusieurs resultats d'existence sont obtenus. Plusieurs problemes connexes sont egalement abordes, etendant la portee de la notion de fonctions critiques.