Etude Et D�veloppement de Sch�mas Num�riques Pr�servant Les Sym�tries

Les mthodes numriques prsentes respectent un des principes fondamentaux de la physique, savoir l'invariance du modle sous les transformations du repre, qui se caractrise par le fait que le phnomne est le mme lorsqu'on modifie le point de vue sous lequel il est observ. Ces mthodes utilisent des techniques de symtrie de Lie. En mcanique, il s'agit de transformations Galilennes, de rotations, de transformations projectives ou de translations. Ces techniques de symtrie sont des outils incontournables en modlisation mathmatique. Elles permettent le calcul de solutions spcifiques, appeles solutions auto-similaires, et la construction de modles invariants. De plus, lorsque le systme drive d'un Lagrangien, le thorme de Noether tablit que toute symtrie de l'action du systme est lie une loi de conservation. Aprs une introduction la notion de symtrie, des expriences numriques sont ralises montrant que les mthodes numriques communment utilises ne prservent pas les symtries, entrainant manque de robustesse et instabilits. Ensuite, des mthodes prservant les symtries sont construites et mises en uvre pour des problmes en mcanique.